Conjunto generador algebra lineal

Módulo matemáticas

Nota: Una interfaz para todas las matrices. Este innovador solucionador de matrices despliega una única interfaz que puede utilizarse para introducir múltiples matrices, incluyendo matrices aumentadas que representan sistemas lineales simultáneos de ecuaciones.

Esta calculadora matricial es capaz de realizar operaciones matriciales con matrices en las que cualquiera de sus entradas puede ser real, imaginaria o, en general, un número complejo. Una matriz con una entrada compleja se denomina matriz compleja.

Aparte de la suma de matrices, resta de matrices y multiplicación de matrices, puede utilizar esta calculadora de matrices complejas para realizar álgebra matricial mediante la evaluación de expresiones matriciales como A + ABC – inv(D), donde las matrices pueden ser de cualquier tamaño compatible ‘mxn’.

La calculadora matix & solucionador de sistemas lineales es para realizar álgebra matricial (suma, resta, multiplicación, inversa, etc.) de matrices complejas. También calcula el determinante, inverso, adjunto, rango, rref y formas triangulares de matrices m × m con entradas reales o complejas. Además, resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales o complejos y vectores columna reales o complejos.

Generador de preguntas matemáticas aleatorias

En matemáticas y física, el término generador o conjunto generador puede referirse a cualquiera de una serie de conceptos relacionados. El concepto subyacente en cada caso es el de un conjunto más pequeño de objetos, junto con un conjunto de operaciones que se le pueden aplicar, que dan como resultado la creación de una colección más grande de objetos, llamada conjunto generado. Se dice entonces que el conjunto mayor ha sido generado por el conjunto menor. Suele ocurrir que el conjunto generador tenga un conjunto de propiedades más sencillo que el conjunto generado, lo que facilita su discusión y examen. Suele ocurrir que las propiedades del conjunto generador se conservan de algún modo en el acto de generación; del mismo modo, las propiedades del conjunto generado suelen reflejarse en el conjunto generador.

En el estudio de las ecuaciones diferenciales, y comúnmente las que se dan en física, se tiene la idea de un conjunto de desplazamientos infinitesimales que pueden extenderse para obtener una variedad, o al menos, una parte local de ella, mediante integración. El concepto general consiste en utilizar el mapa exponencial para tomar los vectores en el espacio tangente y extenderlos, como geodésicas, a un conjunto abierto que rodea el punto tangente. En este caso, no es raro llamar a los elementos del espacio tangente los generadores de la variedad. Cuando la variedad posee algún tipo de simetría, también existe la noción relacionada de carga o corriente, que a veces también se denomina generador, aunque, estrictamente hablando, las cargas no son elementos del espacio tangente.

Generador de un grupo

En álgebra abstracta, un conjunto generador de un grupo es un subconjunto del conjunto del grupo tal que cada elemento del grupo puede expresarse como una combinación (bajo la operación de grupo) de finitamente muchos elementos del subconjunto y sus inversos.

En otras palabras, si S es un subconjunto de un grupo G, entonces ⟨S⟩, el subgrupo generado por S, es el subgrupo más pequeño de G que contiene cada elemento de S, que es igual a la intersección sobre todos los subgrupos que contienen los elementos de S; equivalentemente, ⟨S⟩ es el subgrupo de todos los elementos de G que pueden expresarse como el producto finito de elementos en S y sus inversos. (Nótese que los inversos sólo son necesarios si el grupo es infinito; en un grupo finito, el inverso de un elemento puede expresarse como una potencia de ese elemento).

Si G = ⟨S⟩, decimos que S genera G, y los elementos de S se llaman generadores o generadores del grupo. Si S es el conjunto vacío, entonces ⟨S⟩ es el grupo trivial {e}, ya que consideramos que el producto vacío es la identidad.

Cuando sólo hay un único elemento x en S, ⟨S⟩ suele escribirse como ⟨x⟩. En este caso, ⟨x⟩ es el subgrupo cíclico de las potencias de x, un grupo cíclico, y decimos que este grupo está generado por x. Equivalente a decir que un elemento x genera un grupo es decir que ⟨x⟩ es igual a todo el grupo G. Para grupos finitos, también equivale a decir que x tiene orden |G|.

Función generadora

Concepto en matemáticasEn matemáticas, un conjunto generador Γ de un módulo M sobre un anillo R es un subconjunto de M tal que el submódulo más pequeño de M que contiene a Γ es el propio M (el submódulo más pequeño que contiene a un subconjunto es la intersección de todos los submódulos que contienen al conjunto). Se dice entonces que el conjunto Γ genera M. Por ejemplo, el anillo R está generado por el elemento identidad 1 como un módulo R izquierdo sobre sí mismo. Si existe un conjunto generador finito, entonces se dice que un módulo es finitamente generado.

Explícitamente, si Γ es un conjunto generador de un módulo M, entonces cada elemento de M es una combinación lineal (finita) en R de algunos elementos de Γ; es decir, para cada x en M, hay r1, …, rm en R y g1, …, gm en Γ tales que

donde escribimos rg para un elemento en el componente g-ésimo de la suma directa. (Casualmente, dado que siempre existe un conjunto generador, por ejemplo el propio M, esto demuestra que un módulo es un cociente de un módulo libre, un hecho útil).

Se dice que un conjunto generador de un módulo es mínimo si ningún subconjunto propio del conjunto genera el módulo. Si R es un campo, un conjunto generador mínimo es lo mismo que una base. A menos que el módulo esté finitamente generado, puede que no exista ningún conjunto generador mínimo[1].