Sistema generador algebra lineal
Generador de simetría
Contenidos
En este trabajo se estudian dos características numéricas de las álgebras matriciales de incidencia sobre campos finitos asociadas a conjuntos generadores de dichas álgebras: la cardinalidad mínima de un conjunto generador y la longitud de un álgebra. Los conjuntos generadores se entienden en el sentido habitual, considerándose la identidad del álgebra una palabra de longitud 0 en los generadores, y también en el sentido estricto, en el que no se utiliza este supuesto. Se obtiene un criterio para que un subconjunto genere un álgebra de incidencia en sentido estricto. Para todas las álgebras matriciales de incidencia, se determina la cardinalidad mínima de un conjunto generador y de un conjunto generador en sentido estricto como funciones de la cardinalidad del campo y del orden de las matrices. Se obtienen algunos resultados nuevos sobre las longitudes de dichas álgebras. En particular, se determina la longitud del álgebra de matrices “casi” diagonales y se obtiene un nuevo límite superior para la longitud de un álgebra de incidencia de matrices arbitrarias.
N. A. Kolegov.Información adicionalTraducido de Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, Vol. 472, 2018, pp. 120-144.Derechos y permisosImpresiones y permisosSobre este artículoCite este artículoKolegov, N.A., Markova, O.V. Systems of Generators of Matrix Incidence Algebras over Finite Fields.
¿Qué es un sistema de generadores de álgebra lineal?
1. Se dice que un CONJUNTO de elementos xv x2,…, xk de un álgebra lineal A de dimensión finita genera A si cada elemento de A depende linealmente de productos de xx, x2,…, xk; los elementos xx, x2,…, xk se llaman entonces generadores de A.
¿Cómo se determina que un conjunto es un grupo electrógeno?
Definición: Conjunto generador
Si G es un grupo y S es un subconjunto de G tal que G=⟨S⟩, entonces S se llama conjunto generador de G. En otras palabras, S es un conjunto generador de G si cada elemento de G puede expresarse como una palabra en S.
Propiedades del generador
Me resulta difícil entender la idea de conjunto generador mínimo. El libro da una definición y he intentado buscarla, pero las definiciones son obviamente similares. ¿Puede alguien explicarlo en términos más sencillos y dar un ejemplo básico?
Un conjunto generador capta la idea de que empezar con sólo unos pocos elementos del grupo y luego aplicar la operación de grupo puede ser suficiente para (eventualmente) crear, o generar, cada elemento del grupo.
En matemáticas, la minimalidad es la propiedad de ser lo más pequeño posible. No hay ninguna otra cosa de la categoría o descripción que haga lo que debe y sea también más pequeña que la que tienes. Nótese que esto no excluye la posibilidad de múltiples objetos mínimos del mismo tamaño, es decir, la minimalidad no es necesariamente única.
Un conjunto mínimo generador según la definición proporcionada es, por tanto, un conjunto de elementos del grupo que pueden utilizarse para formar eventualmente el grupo entero, pero que, si falta uno solo de esos elementos, pierde esa capacidad.
Álgebra lineal de conjuntos generadores
Presentamos SLinGen y LGen, generadores de programas para cálculos de álgebra lineal a pequeña escala. La entrada es una descripción matemática (como en un libro) del algoritmo. El resultado es un código C optimizado que utiliza el ISA vectorial disponible. El proyecto se ejecutó en 3 pasos con funcionalidad creciente:
Una entrada válida para LGen es un BLAC con operandos de entrada y salida de tamaño fijo. El BLAC se especifica en un DSL que denominamos Lenguaje de álgebra lineal (LL). En el primer paso, se fija el mosaico para el cálculo. El cómputo resultante se traduce a un segundo DSL llamado Σ-LL, que se basa en el Σ-SPL utilizado en Spiral. Este último sigue siendo una representación matemática válida del BLAC original, pero hace explícitos los bucles y las funciones de acceso. En este nivel, LGen realiza optimizaciones a nivel de bucle, como la fusión y el intercambio de bucles. A continuación, la expresión Σ-LL se traduce a una representación intermedia de C (C-IR) para realizar optimizaciones a nivel de código, como el desenrollado de bucles y la traducción a forma SSA. Por último, el código C-IR se descomprime en C y los resultados de rendimiento se utilizan en el bucle de realimentación de autoajuste.
Álgebra lineal general
En esta sección presentaremos los códigos lineales, un tipo de códigos de corrección de errores basados en el álgebra lineal sobre campos finitos con buenas propiedades conceptuales y computacionales. Comenzaremos repasando el álgebra lineal sobre campos finitos, y prestando especial atención al espacio nulo de matrices. A continuación, definiremos los códigos lineales en términos del espacio nulo de las matrices de comprobación de paridad o del espacio de columnas de la matriz generatriz. Discutiremos las capacidades de corrección de errores de los códigos lineales y mostraremos cómo se realiza la descodificación. Por último, presentaremos algunos códigos lineales comunes e importantes.
zB & =\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&0\0&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\end{pmatrix}\oplus2\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\end{pmatrix}
El espacio de filas, el espacio de columnas y el espacio nulo en un campo finito \(\mathbb F\) se definen de la misma manera que las matrices sobre números reales. En particular, el espacio de filas es el ámbito de las filas de la matriz, es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales de las filas de la matriz, donde los coeficientes son también de \(\mathbb F\) y todos los cálculos se realizan en \(\mathbb F\). Por ejemplo, consideremos